お受験問題

【問】

食塩水A,Bに溶けている

食 塩の重さの比は、2:1
 水 の重さの比は、3:4
食塩水の重さの比は、4:5

の時、食塩水A,Bの濃度を求めよ。

 

【私の解】

食塩の重さの比を、1:1に揃えると、

食 塩の重さの比は、1:1
 水 の重さの比は、1.5:4
食塩水の重さの比は、2:5

整数の比に直して、
食 塩の重さの比は、1:1
 水 の重さの比は、3:8…①
食塩水の重さの比は、2:5…②

「食塩の重さ」を等しくしたので、「水の重さ」の差と、「食塩水の重さ」の差は等しい。

①②では、水、食塩水の比の差が、それぞれ5,3なので、15に合わせると、

食 塩の重さの比は、1:1
 水 の重さの比は、9:24
食塩水の重さの比は、10:25

食塩水Aも、食塩水Bも、

1+9=10,1+24=25と
食塩+水=食塩水となっているから、
これらの割合で、食塩水はできていることがわかった。
濃度の比は、
1/10:1/25=5:2
濃度は、

1/10=10%,

1/25=4%

やっと44年前の復習ができた。

【問】
同量で異なる濃度の2つの食塩水a bがある
①aの半分をbに入れよく混ぜる
②bの半分をaに入れよく混ぜる
この動作を繰り返していくと二つの食塩水はどのように変化していきますか。

【解】
詳しく書くと連立漸化式になります。
45年前の事なので、うまく書けません。

a+b
=a/2+(a/2+b)
=a/2+(a+2b)/2
={a/2+(a+2b)/4}+(a+2b)/4
=(3a+2b)/4+(a+2b)/4

以上から、
a[1]=a
b[1]=b
a[n+1]=(3/4)a[n]+(1/2)b[n]…①
b[n+1]=(1/4)a[n]+(1/2)b[n]…②

そして、①の式から、
(1/2)b[n]=a[n+1]-(3/4)a[n]
b[n+1]=2a[n+2]-(6/4)a[n+1]

これらを②の式に代入して、
2a[n+2]-(6/4)a[n+1]=(1/4)a[n]+a[n+1]-(3/4)a[n]
8a[n+2]-6a[n+1]=a[n]+4a[n+1]-3a[n]
8a[n+2]=10a[n+1]-2a[n]
4a[n+2]=5a[n+1]-a[n]

4x^2-5x+1=0の解は、
(4x-1)(x-1)=0

x=1/4,1

だから、
a[n+2]-(1/4)a[n+1]=a[n+1]-(1/4)a[n]…③
a[n+2]-a[n+1]=(1/4){a[n+1]-a[n]}…④

で、どうだったかなあ。
本当に分かってなかったのですねえ。

③の式は、
a[n+1]-(1/4)a[n]=a[n]-(1/4)a[n-1]=a[2]-(1/4)a[1]
=(3/4)a+(1/2)b-(1/4)a=(1/2)(a+b)…⑤
④の式は、
a[n+1]-a[n]=(1/4){a[n]-a[n-1]}=[(1/4)^(n-1)](a[2]-a[1])
=[(1/4)^(n-1)]{(3/4)a+(1/2)b-a}=[(1/4)^(n-1)]{(-1/4)a+(1/2)b}…⑥

かなり怪しいなあ。
⑤の式から⑥の式を引いて、
(3/4)a[n]=(1/2)(a+b)-[(1/4)^(n-1)]{(-1/4)a+(1/2)b}
3a[n]=2(a+b)-[(1/4)^(n-1)](-a+2b)
a[n]=(2/3)(a+b)+[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3

b[n]=a+b-a[n]だから、
b[n]=(1/3)(a+b)-[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3

並べて書くと、
a[n]=(2/3)(a+b)+[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3
b[n]=(1/3)(a+b)-[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3

以上が最終の式。

それで、nを大きくすると、(1/4)^(n-1)=0に近づくので、
a[n]=(2/3)(a+b)
b[n]=(1/3)(a+b)

a[n]:b[n]=2:1
重さの比は、2:1に近づき、濃度は、平均の(a+b)/2に近づく。

 

1/2は、面白くないので、今度割合r(<1)にしたら、どんな式になるかなあ。

4年前の回答を改良する

【問題】
濃度20%の食塩水Aが100gがある。
Aからxgの食塩水を取りだし、xgの水を入れてよくかき混ぜる。
次に、Aから2xg食塩水を取りだし、4xgの水と混ぜて食塩水Bをつくると、その
濃度は5%になった。
xの値を求めなさい。
答え 25g
どうやって計算したらこの答えが出るのかわかりません。詳しく考え方も含めて教えてください。
 
【濃度の変化を見て下さい】
20%の食塩水100gからxgを取りだし、
20%×(100-x)/(100-x)

xgの水を入れてよくかき混ぜる。
20%×(100-x)/(100-x+x)

2xg食塩水を取りだし、
20%×{(100-x)/(100-x+x)}×{(100-2x)/(100-2x)}

4xgの水と混ぜ、
20%×{(100-x)/(100-x+x)}×{(100-2x)/(100-2x+4x)}

5%になった。
20%×{(100-x)/(100-x+x)}×{(100-2x)/(100-2x+4x)}=5%

【後は計算】
{(100-x)/100}×{(100-2x)/(100+2x)}=5%/20%
(100-x)(100-2x)/100(100+2x)=1/4
4(100-x)(100-2x)=100(100+2x)
(100-x)(100-2x)=25(100+2x)
(100-x)(50-x)=25(50+x)
5000-150x+x^2=1250+25x
x^2-175x+3750=0
(x-25)(x-150)=0
2x<100より
x=25
 
【今なら】
取り出す重さxの100gに対する割合をr(=x/100)と置くと、
20(1-r)(1-2r)/(1+2r)=5
あとは計算。
4(1-r)(1-2r)/(1+2r)=1
4(1-r)(1-2r)=1+2r
4-12r+9r^2=1+2r
3-14r+8r^2=0
(3-2r)(1-4r)=0
0<r<1だから、
r=1/4
100r=25
 
なんで、昔、こうしなかったのか?
うんと短くて済むのになあ。

僕の解の方が、素敵なのに…。

【問】
A 容器に 3 %の食塩水が xg,B 容器には y %の食塩水が 800g 入っている.A 容器から食塩水 200g を取り,B 容器へ移して良く混ぜ,その後,B 容器から食塩水 200g を取り,
A 容器に移してかき混ぜる.その濃度を測ったところ 4 %だった.また,A,B 容器の食塩水を全て混ぜたとき 6 %になった.このときの x の値を求めよ.

【私の解】

※この解の特徴は、下の式の②です。
難しいかもしれません。

A容器で、3%が6%になるとき、
B容器で、y%が6%になるから、濃度の変化は下のようになる。

xg×3%+800g×y%…①
=xg×4%+800g×(2y/3+2)%…②
=xg×5%+800g×(y/3+4)%
=xg×6%+800g×6%

※yが6に変わる関数的な変化が、式から読み取れますか?
読み取れれば、真似できます。

A容器から食塩水200gを、B容器へ移した時点で、B容器の濃度は、
既に②の濃度(2y/3+2)%になっています。

200g×3%+800g×y%=1000g×(2y/3+2)%
3+4y=5(2y/3+2)
9+12y=5(2y+6)
9+12y=10y+30
2y=21
y=10.5(%)

始めのB容器の濃度が10.5%と分かった。

3%の食塩水xgと10.5%の食塩水800gとで、6%の食塩水(x+800)gになるから、
xg×3%+800g×10.5%=(x+800)g×6%
3x+8400=6x+4800
3600=3x
1200(g)=x

どうでしょう。理解してほしいなあ。

 

残念。先に、ベストアンサーが決まっていた。

僕の解の方が、素敵なのに…。

 

食塩水ではないですが…。

314159265358979は7の倍数か?

について書きます。

 

①右から6桁に区切ります。

314,159265,358979…(あ)

 

②これらを足します。

314+159265+358979=518558…(い)

10^12,10^6のそれぞれを7で割った余りは1だから、 (あ)と(い)の余りは等しい。

 

③(い)を右から2桁に区切ります。

51,85,58…(う)

 

④2桁ごとに最大の7の倍数

49,84,56…(え)

を引きます。

2,01,02…(お)

10^4,10^2のそれぞれを7で割った余りは、4,2だから、

(お)と(か)の余りは等しい。

4×2+2×1+2=12…(か)

 

⑤(か)を7で割った余りが、始めの数を7で割った余りです。

12÷7=1あまり5

7の倍数ではない。

 

これに対して、いろいろな返事が寄せられましたが、秀逸なものを書きます。

 

【畑の空豆さん】
①314159265358979
②31415926535897-18
=31415926535879
③3141592653587-18
=3141592653569
④314159265356-18
=314159265338
⑤31415926533-16
=31415926517
⑥3141592651-14
=3141592637
⑦314159263-14
=314159249
⑧31415924-18
=31415906
⑨3141590-12
=3141578
⑩314157-16
=314141
⑪31414-2
=31412
⑫3141-4
=3137
⑬313-14
=299
⑭29-18
=11
よって①は7の倍数ではない
っていう面倒なのもあるよ。

元々の数字を10a+bと置く
いま7n=10a+bとすると
b=7n-10a
一の位に2を掛けて10aのaから引いたらa-2bですね
ここにb=7n-10aを代入すると
a-2b=a-2(7n-10a)
=a-14n+20a=21a-14n
=7(3a-2n)
と7で括れるから7の倍数になるというもの

例えば、

19の倍数は19n=10a+b
とa+2bで判定する
b=19n-10a
a+2b=a+2(19n-10a)
=a+38n-20a
=38n-19a
=19(2n-a)
となります。

11の倍数は11n=10a+b
とa-bで判定する
b=11n-10a
a-b=a-(11n-10a)
=a-11n+10a
=11a-11n
=11(a-n)

13の倍数は13n=10a+b
とa+4bで判定する
b=13n-10a
a+4b=a+4(13n-10a)
=a+52n-40a
=52n-39a
=13(4n-3a)

17の倍数は17n=10a+b
とa-5bで判定する
b=17n-10a
a-5b=a-5(17n-10a)
=a-85n+50a
=51a-85n
=17(3a-5n)

というように素数の倍数の判定ができるようになる。

【私】
真似して、以下のようにした。

23の倍数は23n=10a+b
とa+7bで判定する
b=23n-10a
a+7b=a+7(23n-10a)
=a+161n-70a
=-69a+161n
=23(-3a+7n)

23×13579=312,317では、

312317
31231+49=31280
31280
3128+0=3128
3128
312+56=368
368
36+56=92
92
ok
なるほど


3には、a+b
7には、a-2b
11には、a-b
13には、a+4b
17には、a-5b
19には、a+2b
23には、a+7b

(1-10k)/n=整数、の条件で見つけるのだから、
*1、*9、**1、**9、…の因数を見つければいいのですね。

【畑野 空豆さん】

説明下手ですみません。
分かって頂けたようですので、ありがたいです。
ですから7の倍数の時でも、ちと面倒なんですね。

【私】

ありがとうございました。

困った問題

【問】
4.4×10⁻²⁵gの水素分子がある。
この水素が8.0×10⁻²⁵Lの酸素分子と反応してできた水を80℃に温め食塩を溶かして飽和溶液を作った。これを20℃までさましたら何gの食塩が析出するか?
20℃、80℃での溶解度を25、60とする。

【回答】
アボガドロ数の復習から、6×10^23個の水素原子の質量は1g。

H2:O=2:16=1:8
と、ここまで書いて、

20℃、80℃での溶解度を25、60とする。

60が、おかしいな。食塩の溶解度はこんなに大きくないね。
100に対して、35ぐらいだよ。%濃度なら、28%ぐらいだから、

次はgとLをどう解釈するか?

pv=nRT

私の学習した圧力は1気圧なんですね。
まあ、単位なんか何でもいいですが、

1気圧で22.4L=1molでR、273Kで

ああ、めんどうだなあ。

この問題、大丈夫ですか?


【こんな感じなら誰か答えてくれるでしょう。】
4.4×10⁻²⁵gの水素分子がある。
この水素が8.0×10⁻²⁵gの酸素分子と反応してできた水を
80℃に温め食塩を溶かして飽和溶液を作った。
これを20℃までさましたら何gの食塩が析出するか?
20℃、80℃での溶解度(%)を25、28とする。

水が9gなら、その28/72(倍)の食塩が溶けており、その3/28が析出し、それは、
9×(28/72)×(3/28)=3/8(g)。

今は、9.0×10⁻²⁵gの水だから、食塩の質量は、
(3/8)×10⁻²⁵gだから、3.8×10^-26(g)

私の化学は、40年前の単位系です。(笑)

最近は、ひねくれて、まともな回答をする気がなくなっています。

【問題】
容器A,Bに4%、6%の食塩水が100gずつ入っている。
それぞれの容器から食塩水をxgずつ取り出し、
それぞれ他方の容器へ入れる。
さらにもう一度、同様の操作を行ったところ、
Aの濃度が4.75%になった。
xの値を求めよ。

【回答】
【簡便算では】
Aの濃度は、経験的に、
4%
4.5%
4.75%
と変化します。

それは、こういう入れ替えでは、
平均濃度の5%との濃度差が、
1%
0.5%
0.25%
と、半分になっていくからです。

4A+6B=4.5(A+B)
1.5B=0.5A
3B=A
A:B=3B:B=3:1=75g:25g

答えは
25g、75g

25gの入れ替えでは、4%,4.5%,4.75%という変化ですが、
75gの入れ替えでは、4%,5.5%,4.75%と振幅します。
75gの時は、25gの時の奇数回目で、A,Bを取り換える濃度になります。

正式な解ではありませんが、速く解を得るなら、こんなやり方もあります。

ちゃんとやると、ちと面倒。
とりあえず。

 

【ちゃんとやる】
xg/100g=rとする。
始めのA,Bの濃度を-1%,+1%とする。

1回目のA,Bの濃度は、
-(1-r)+r=2r-1
-r+(1-r)=1-2r

 

2回目のA,Bの濃度は、
(2r-1)(1-r)+(1-2r)r=-0.25…①
(2r-1)r+(1-2r)(1-r)=0.25

 

①を簡単にして、
-(1-2r)(1-r)+(1-2r)r=-0.25
(1-2r)(2r-1)=-0.25
(1-2r)^2=0.25
1-2r=±0.5
2-4r=±1
-4r=-1,-3
x=100r=25,75
答え25,75