やっと44年前の復習ができた。

【問】
同量で異なる濃度の２つの食塩水a bがある
①aの半分をbに入れよく混ぜる
②bの半分をaに入れよく混ぜる
この動作を繰り返していくと二つの食塩水はどのように変化していきますか。

【解】
詳しく書くと連立漸化式になります。
45年前の事なので、うまく書けません。

a+b
=a/2+(a/2+b)
=a/2+(a+2b)/2
={a/2+(a+2b)/4}+(a+2b)/4
=(3a+2b)/4+(a+2b)/4

以上から、
a[1]=a
b[1]=b
a[n+1]=(3/4)a[n]+(1/2)b[n]…①
b[n+1]=(1/4)a[n]+(1/2)b[n]…②

そして、①の式から、
(1/2)b[n]=a[n+1]-(3/4)a[n]
b[n+1]=2a[n+2]-(6/4)a[n+1]

これらを②の式に代入して、
2a[n+2]-(6/4)a[n+1]=(1/4)a[n]+a[n+1]-(3/4)a[n]
8a[n+2]-6a[n+1]=a[n]+4a[n+1]-3a[n]
8a[n+2]=10a[n+1]-2a[n]
4a[n+2]=5a[n+1]-a[n]

4x^2-5x+1=0の解は、
(4x-1)(x-1)=0

x=1/4,1

だから、
a[n+2]-(1/4)a[n+1]=a[n+1]-(1/4)a[n]…③
a[n+2]-a[n+1]=(1/4){a[n+1]-a[n]}…④

で、どうだったかなあ。
本当に分かってなかったのですねえ。

③の式は、
a[n+1]-(1/4)a[n]=a[n]-(1/4)a[n-1]=a[2]-(1/4)a[1]
=(3/4)a+(1/2)b-(1/4)a=(1/2)(a+b)…⑤
④の式は、
a[n+1]-a[n]=(1/4){a[n]-a[n-1]}=[(1/4)^(n-1)](a[2]-a[1])
=[(1/4)^(n-1)]{(3/4)a+(1/2)b-a}=[(1/4)^(n-1)]{(-1/4)a+(1/2)b}…⑥

かなり怪しいなあ。
⑤の式から⑥の式を引いて、
(3/4)a[n]=(1/2)(a+b)-[(1/4)^(n-1)]{(-1/4)a+(1/2)b}
3a[n]=2(a+b)-[(1/4)^(n-1)](-a+2b)
a[n]=(2/3)(a+b)+[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3

b[n]=a+b-a[n]だから、
b[n]=(1/3)(a+b)-[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3

並べて書くと、
a[n]=(2/3)(a+b)+[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3
b[n]=(1/3)(a+b)-[(1/4)^(n-1)](a-2b)/3

以上が最終の式。

それで、nを大きくすると、(1/4)^(n-1)=0に近づくので、
a[n]=(2/3)(a+b)
b[n]=(1/3)(a+b)

a[n]:b[n]=2:1
重さの比は、2:1に近づき、濃度は、平均の(a+b)/2に近づく。

1/2は、面白くないので、今度割合r(<1)にしたら、どんな式になるかなあ。