濃度差=4%×(1/5)^n
【質問】
12%600gの食塩水Aと8%200gの食塩水Bが有り食塩水AからXgの食塩水を取り出して食塩水Bに混ぜ合わせてそこからXgの食塩水を取り出して食塩水Aに混ぜ合わせてもう1回この動作を繰り返したら食塩水Aの濃度が11.04%になり食塩水Bの濃度は10.88%になった。Xの値を求めよ。
【回答】
始めの12%-8%=4%の濃度差が、
2回の操作で、11.04%-10.88%=0.16%へと、
0.16%/4%=16/400=4/100=0.04倍になっているので、
1回の操作では、(√0.04=)0.2倍になるから、…（＊）
1回目の濃度差は、4%×0.2=0.8%になっている。
各回の操作後の、それぞれの食塩水と平均濃度11%との差は、
(12%-11%):(11%-8%)=1:3になっているので、
始めの濃度差=Aの濃度ーBの濃度=12%-8%=4%
1回後の濃度差=Aの濃度ーBの濃度=11.2%-10.4%=0.8%(=4%×0.2)
2回後の濃度差=Aの濃度ーBの濃度=11.04%-10.88%=0.16%(=0.8%×0.2)=4%×0.2^2
1回目の操作後、Bの濃度は、10.4%だから、
12A+8B=10.4(A+B)
12A+8B=10.4A+10.4B
1.6A=2.4B
2A=3B
A:B=3:2=300g:200g
というわけで、300gと判明した。
4行目は理由が分からないでしょうが、そうなっています。
これは、中学の教科書の数学ではないです。
要約すると、
ｎ回後の食塩水Aの濃度=11%+1%×(1/5)^n
ｎ回後の食塩水Bの濃度=11%-3%×(1/5)^n
だから、濃度差=4%×(1/5)^n
ということです。
実は、
1/5=(200g×300g)/{600g×(200g+300g)}です。
この辺は、高校で漸化式を勉強すると解ります。
2回の操作で、11.04%-10.88%=0.16%へと、
0.16%/4%=16/400=4/100=0.04倍になっているので、
1回の操作では、(√0.04=)0.2倍になるから、…（＊）
1回目の濃度差は、4%×0.2=0.8%になっている。
各回の操作後の、それぞれの食塩水と平均濃度11%との差は、
(12%-11%):(11%-8%)=1:3になっているので、
始めの濃度差=Aの濃度ーBの濃度=12%-8%=4%
1回後の濃度差=Aの濃度ーBの濃度=11.2%-10.4%=0.8%(=4%×0.2)
2回後の濃度差=Aの濃度ーBの濃度=11.04%-10.88%=0.16%(=0.8%×0.2)=4%×0.2^2
1回目の操作後、Bの濃度は、10.4%だから、
12A+8B=10.4(A+B)
12A+8B=10.4A+10.4B
1.6A=2.4B
2A=3B
A:B=3:2=300g:200g
というわけで、300gと判明した。
4行目は理由が分からないでしょうが、そうなっています。
これは、中学の教科書の数学ではないです。
要約すると、
ｎ回後の食塩水Aの濃度=11%+1%×(1/5)^n
ｎ回後の食塩水Bの濃度=11%-3%×(1/5)^n
だから、濃度差=4%×(1/5)^n
ということです。
実は、
1/5=(200g×300g)/{600g×(200g+300g)}です。
この辺は、高校で漸化式を勉強すると解ります。
