食塩水ではないですが…。

３１４１５９２６５３５８９７９は7の倍数か？

について書きます。

①右から6桁に区切ります。

３１４，１５９２６５，３５８９７９…(あ)

②これらを足します。

３１４＋１５９２６５＋３５８９７９＝５１８５５８…(い)

10^12,10^6のそれぞれを7で割った余りは１だから、 (あ)と(い)の余りは等しい。

③（い）を右から2桁に区切ります。

５１，８５，５８…(う)

④２桁ごとに最大の７の倍数

４９，８４，５６…(え)

を引きます。

２，０１，０２…(お)

10^4,10^2のそれぞれを7で割った余りは、4,2だから、

(お)と(か)の余りは等しい。

４×２＋２×１＋２＝１２…(か)

⑤（か）を７で割った余りが、始めの数を７で割った余りです。

１２÷７＝１あまり５

７の倍数ではない。

これに対して、いろいろな返事が寄せられましたが、秀逸なものを書きます。

【畑の空豆さん】
①314159265358979
②31415926535897-18
=31415926535879
③3141592653587-18
=3141592653569
④314159265356-18
=314159265338
⑤31415926533-16
=31415926517
⑥3141592651-14
=3141592637
⑦314159263-14
=314159249
⑧31415924-18
=31415906
⑨3141590-12
=3141578
⑩314157-16
=314141
⑪31414-2
=31412
⑫3141-4
=3137
⑬313-14
=299
⑭29-18
=11
よって①は7の倍数ではない
っていう面倒なのもあるよ。

元々の数字を10a+bと置く
いま7n=10a+bとすると
b=7n-10a
一の位に2を掛けて10aのaから引いたらa-2bですね
ここにb=7n-10aを代入すると
a-2b=a-2(7n-10a)
=a-14n+20a=21a-14n
=7(3a-2n)
と7で括れるから7の倍数になるというもの

例えば、

19の倍数は19n=10a+b
とa+2bで判定する
b=19n-10a
a+2b=a+2(19n-10a)
=a+38n-20a
=38n-19a
=19(2n-a)
となります。

11の倍数は11n=10a+b
とa-bで判定する
b=11n-10a
a-b=a-(11n-10a)
=a-11n+10a
=11a-11n
=11(a-n)

13の倍数は13n=10a+b
とa+4bで判定する
b=13n-10a
a+4b=a+4(13n-10a)
=a+52n-40a
=52n-39a
=13(4n-3a)

17の倍数は17n=10a+b
とa-5bで判定する
b=17n-10a
a-5b=a-5(17n-10a)
=a-85n+50a
=51a-85n
=17(3a-5n)

というように素数の倍数の判定ができるようになる。

【私】
真似して、以下のようにした。

23の倍数は23n=10a+b
とa+7bで判定する
b=23n-10a
a+7b=a+7(23n-10a)
=a+161n-70a
=-69a+161n
=23(-3a+7n)

23×13579=312,317では、

312317
31231+49=31280
31280
3128+0=3128
3128
312+56=368
368
36+56=92
92
ok
なるほど

３には、a+b
７には、a-2b
11には、a-b
13には、a+4b
17には、a-5b
19には、a+2b
23には、a+7b

(1-10k)/n＝整数、の条件で見つけるのだから、
＊１、＊９、＊＊1、＊＊9、…の因数を見つければいいのですね。

【畑野 空豆さん】

説明下手ですみません。
分かって頂けたようですので、ありがたいです。
ですから7の倍数の時でも、ちと面倒なんですね。

【私】

ありがとうございました。