ああ、やっとこの式が役に立った。
【問】
A:15%の食塩水100g
B:6%の食塩水100g
A，BからそれぞれMgの食塩水をくみだし、
Aからの分をBに、Bからの分をAに入れたら、
Aの食塩水の濃度は12%となった。
もう一度Mgを交換すると、
Aの食塩水の濃度は何パーセントになるか。
答え……11％
方程式を立てると、どうなりますか？
答え……11％
方程式を立てると、どうなりますか？
わかりやすい解説をお願いします。
【解答】
「15%の食塩水(100-M)gと、6%の食塩水Mg」とで、「12%の食塩水が100g」できたとする。
「」内の食塩の重さは等しいから、
(100-M)g×15%+Mg×6%=100g×12%
(100-M)×15+M×6=100×12
1500-15M+6M=1200
300=9M
100=3M
100/3=M
1/3が入れ替わることが分かったので、
容器Ａ，Ｂ内の食塩の推移は以下のようになる。
15g+6g
=(10+5)g+(2+4)g
=(10+2)g+(5+4)g
=12g+9g
=(8+4)g+(3+6)g
=(8+3)g+(4+6)g
=11g+10g
Aは11%
【おまけ】
これらＡ，Ｂの濃度の推移は、以下のようになる。
10.5±4.5
10.5±1.5
10.5±0.5
10.5±(1/6)
10.5±(1/18)
これらは、以下のように書けるから、
10.5±4.5
10.5±4.5×(1/3)
10.5±4.5×(1/3)^2
10.5±4.5×(1/3)^3
10.5±4.5×(1/3)^4
つまり、
n回後のA,Bの濃度をA[n],B[n]とすると、
A[n]=(15+6)/2+{(15-6)/2}(1/3)^n
B[n]=(15+6)/2ー{(15-6)/2}(1/3)^n
となる。
「」内の食塩の重さは等しいから、
(100-M)g×15%+Mg×6%=100g×12%
(100-M)×15+M×6=100×12
1500-15M+6M=1200
300=9M
100=3M
100/3=M
1/3が入れ替わることが分かったので、
容器Ａ，Ｂ内の食塩の推移は以下のようになる。
15g+6g
=(10+5)g+(2+4)g
=(10+2)g+(5+4)g
=12g+9g
=(8+4)g+(3+6)g
=(8+3)g+(4+6)g
=11g+10g
Aは11%
【おまけ】
これらＡ，Ｂの濃度の推移は、以下のようになる。
10.5±4.5
10.5±1.5
10.5±0.5
10.5±(1/6)
10.5±(1/18)
これらは、以下のように書けるから、
10.5±4.5
10.5±4.5×(1/3)
10.5±4.5×(1/3)^2
10.5±4.5×(1/3)^3
10.5±4.5×(1/3)^4
つまり、
n回後のA,Bの濃度をA[n],B[n]とすると、
A[n]=(15+6)/2+{(15-6)/2}(1/3)^n
B[n]=(15+6)/2ー{(15-6)/2}(1/3)^n
となる。
