簡便に、
【問】
２つの容器 AとBがある。
Aには16%の食塩水200gが、Bには8%の食塩水300gが入っている。
はじめに、Aの食塩水100gをBに入れてよくかき混ぜた。
次に、その混ぜた食塩水100gをAに戻してよくかき混ぜた。
このときAの食塩水の濃さは何%か？
Aには16%の食塩水200gが、Bには8%の食塩水300gが入っている。
はじめに、Aの食塩水100gをBに入れてよくかき混ぜた。
次に、その混ぜた食塩水100gをAに戻してよくかき混ぜた。
このときAの食塩水の濃さは何%か？
【解】
（）の中は、100g毎の食塩の重さを表している。
A(16,16),B(8,8,8)
A(16),B(16,8,8,8)
A(16),B(10,10,10,10)
A(16,10),B(10,10,10)
A(13,13),B(10,10,10)
答えを得るだけなら、上記のように１３％。明解で早い。
【おまけ】
もう一回すると、
A(13,13),B(10,10,10)
A(13),B(13,10,10,10)
A(13),B(10.75,10.75,10.75,10.75)
A(13,10.75),B(10.75,10.75,10.75)
A(11.875,11.875)B(10.75,10.75,10.75)
一般に、n回繰り返すと、
Aの濃度=11.2+4.8×(3/8)^n
Bの濃度=11.2-3.2×(3/8)^n。
文字の式だけで計算すると良い勉強になりますが、それは今後の課題として、
一度の操作で、(3/8)は、求まり、
+4.8,-3.2は、（16ー平均濃度）、(8ー平均濃度）ですから、
簡便に、
Aの濃度=11.2+4.8×(3/8)^n
Bの濃度=11.2-3.2×(3/8)^n
が求まります。
2回目の操作の結果から、式の正しいだろうことが、予想されます。
詳しくは、
容器Aには濃度aの食塩水がA、容器Bには濃度bの食塩水がB入っている。
今、容器Aから容器BへC移し、よく混ぜ、次に、容器Bから容器AへC移す。
この操作をｎ回繰り返した後の容器A、容器Bの食塩水の濃度は、
A[n]=(Aa+Bb)/(A+B)+[B(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
B[n]=(Aa+Bb)/(A+B)ー[A(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
です。この2つの式の差は、中ほどの、＋BとーAだけ。
A(16,16),B(8,8,8)
A(16),B(16,8,8,8)
A(16),B(10,10,10,10)
A(16,10),B(10,10,10)
A(13,13),B(10,10,10)
答えを得るだけなら、上記のように１３％。明解で早い。
【おまけ】
もう一回すると、
A(13,13),B(10,10,10)
A(13),B(13,10,10,10)
A(13),B(10.75,10.75,10.75,10.75)
A(13,10.75),B(10.75,10.75,10.75)
A(11.875,11.875)B(10.75,10.75,10.75)
一般に、n回繰り返すと、
Aの濃度=11.2+4.8×(3/8)^n
Bの濃度=11.2-3.2×(3/8)^n。
文字の式だけで計算すると良い勉強になりますが、それは今後の課題として、
一度の操作で、(3/8)は、求まり、
+4.8,-3.2は、（16ー平均濃度）、(8ー平均濃度）ですから、
簡便に、
Aの濃度=11.2+4.8×(3/8)^n
Bの濃度=11.2-3.2×(3/8)^n
が求まります。
2回目の操作の結果から、式の正しいだろうことが、予想されます。
詳しくは、
容器Aには濃度aの食塩水がA、容器Bには濃度bの食塩水がB入っている。
今、容器Aから容器BへC移し、よく混ぜ、次に、容器Bから容器AへC移す。
この操作をｎ回繰り返した後の容器A、容器Bの食塩水の濃度は、
A[n]=(Aa+Bb)/(A+B)+[B(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
B[n]=(Aa+Bb)/(A+B)ー[A(a-b)/(A+B)][B(A-C)/A(B+C)]^n
です。この2つの式の差は、中ほどの、＋BとーAだけ。
