何回の操作で、濃度差が１％未満になるか。
2つの容器A、Bがあり、
容器Aにはx%の食塩水が200g、
容器Bにはy%の食塩水が100g入っている。
容器Aから20gの食塩水を取り出し、すべて容器Bに入れよくかき混ぜたあと、
容器Aから20gの食塩水を取り出し、すべて容器Bに入れよくかき混ぜたあと、
容器Bから20gの食塩水を取り出し、すべて容器Aにいれよくかき混ぜたところ、
容器Aの濃度は14.25%、容器Bの濃度は7.5%になった。
x、yの値を求めなさい。
答えはx＝15、y＝6です。
答えはx＝15、y＝6です。
【回答①】
「混ぜ終わった容器A200gの濃度は14.25%、容器B100gの濃度は7.5%」
だから、これらの食塩水には、
200g×14.25%+100g×7.5%=28.5g+7.5g=36g
の食塩が溶けている。
したがって、始めの
「容器Aにはx%の食塩水が200g、容器Bにはy%の食塩水が100g」
にも、36gの食塩が溶けているから、
2x+y=36…①
混ぜた後の容器Bの120gの濃度は7.5%だから、
180g×x%+120g×7.5%=36
1.8x+9=36
1.8x=27
x=15
これを①に代入して、y=6
【検算】
A(30g),B(6g)
A(27g),B(9g)
A(28.5g),B(7.5g)
【回答②】
容器Ａ，Ｂ内の食塩の重さを追及すると、（単位はｇ）
2x+y
=(1.8x)+(0.2x+y)
=(1.8x+x/30+y/6)+(x/6+5y/6)
=(11x/6+y/6)+(x/6+5y/6)
11x/6+y/6=200×14.25％=28.5
x/6+5y/6=100×7.5%=7.5
２式をたして、
2x+y=36…①
下の式を6倍して、
x+5y=45…②
①を5倍して、
10x+5y=180
x+5y=45
上から下をひいて、
9x=135
x=15
y=6
とりあえず、こんな所で。
「混ぜ終わった容器A200gの濃度は14.25%、容器B100gの濃度は7.5%」
だから、これらの食塩水には、
200g×14.25%+100g×7.5%=28.5g+7.5g=36g
の食塩が溶けている。
したがって、始めの
「容器Aにはx%の食塩水が200g、容器Bにはy%の食塩水が100g」
にも、36gの食塩が溶けているから、
2x+y=36…①
混ぜた後の容器Bの120gの濃度は7.5%だから、
180g×x%+120g×7.5%=36
1.8x+9=36
1.8x=27
x=15
これを①に代入して、y=6
【検算】
A(30g),B(6g)
A(27g),B(9g)
A(28.5g),B(7.5g)
【回答②】
容器Ａ，Ｂ内の食塩の重さを追及すると、（単位はｇ）
2x+y
=(1.8x)+(0.2x+y)
=(1.8x+x/30+y/6)+(x/6+5y/6)
=(11x/6+y/6)+(x/6+5y/6)
11x/6+y/6=200×14.25％=28.5
x/6+5y/6=100×7.5%=7.5
２式をたして、
2x+y=36…①
下の式を6倍して、
x+5y=45…②
①を5倍して、
10x+5y=180
x+5y=45
上から下をひいて、
9x=135
x=15
y=6
とりあえず、こんな所で。
【おまけ】
この20gの移動をｎ回行った時のそれぞれの濃度を
A[n],B[n]とすると、
A[n]=12%+3%×(3/4)^n
B[n]=12%ー6%×(3/4)^n
15%
6%
14.25%
7.5%
13.6875%
8.625%
13.265625%
9.46875%
12.94921875%
10.1015625%
12.7119140625%
10.576171875%
12.533935546875%
10.93212890625%
12.40045166015625%
11.1990966796875%
12.30033874511719%
11.39932250976563%
8回の操作で、やっと濃度の差が1％未満になりました。
A[n]-B[n]=9%×(3/4)^n<1%
(3/4)^n<1/9
(3/4)^n<(1/3)^2
n*log(3/4)<2*log(1/3)
n*(0.4771-0.3010*2)<2(-0.4771)
n(-0.1249)<-0.9542
n>7.639
これで、8回で1%未満になることがわかる。
この20gの移動をｎ回行った時のそれぞれの濃度を
A[n],B[n]とすると、
A[n]=12%+3%×(3/4)^n
B[n]=12%ー6%×(3/4)^n
15%
6%
14.25%
7.5%
13.6875%
8.625%
13.265625%
9.46875%
12.94921875%
10.1015625%
12.7119140625%
10.576171875%
12.533935546875%
10.93212890625%
12.40045166015625%
11.1990966796875%
12.30033874511719%
11.39932250976563%
8回の操作で、やっと濃度の差が1％未満になりました。
A[n]-B[n]=9%×(3/4)^n<1%
(3/4)^n<1/9
(3/4)^n<(1/3)^2
n*log(3/4)<2*log(1/3)
n*(0.4771-0.3010*2)<2(-0.4771)
n(-0.1249)<-0.9542
n>7.639
これで、8回で1%未満になることがわかる。
