連立漸化式で解いた。

8%の食塩水Aが300g、

12%の食塩水Bが200gある。
この2つの食塩水に対して, 以下の操作を行う。

 

Aから100gをくみとり、Bから100gをくみとった後、
Aからくみとった100gをBに加え、Bからくみとった100gをAに加える。
この操作をn回行った時、A、Bの濃度は何%か。

を以下のように連立漸化式で解いた。

a[0]=8,
b[0]=12,
a[n+1]=2/3a[n]+1/3b[n],
b[n+1]=1/2a[n]+1/2b[n]

a[n+1]+αb[n+1]=β(a[n]+αb[n])の形に変形する。
a[n+1]+αb[n+1]
=2/3a[n]+1/3b[n]+α(1/2a[n]+1/2b[n])
=(2/3+1/2α)a[n]+(1/3+1/2α)b[n]

β=2/3+1/2α
βα=1/3+1/2α

(2/3+1/2α)α=1/3+1/2α
(4+3α)α=2+3α
3α^2+α-2=0
(3α-2)(α+1)=0
α=-1,2/3

α=-1のとき、
a[n]+αb[n]
=a[n]-b[n]
=2/3a[n-1]+1/3b[n-1]-｛1/2a[n-1]+1/2b[n-1]｝
=(2/3-1/2)a[n-1]+(1/3-1/2)b[n-1]
=1/6a[n-1]-1/6b[n-1]
=1/6｛a[n-1]-b[n-1]｝
a[n]-b[n]=1/6｛a[n-1]-b[n-1]｝
a[0]-b[0]=8-12=-4
a[n]-b[n]=-4(1/6)^n……①

α=2/3のとき、
a[n]+αb[n]
=a[n]+2/3b[n]
=2/3a[n-1]+1/3b[n-1]+2/3｛1/2a[n-1]+1/2b[n-1]｝
=(2/3+2/3・1/2)a[n-1]+(1/3+2/3・1/2)b[n-1]
=a[n-1]+2/3b[n-1]

a[n]+2/3b[n]=a[n-1]+2/3b[n-1]
a[0]+2/3b[0]=8+2/3・12=16
a[n]+2/3b[n]=16……②

並べて書くと、
a[n]-b[n]=-4(1/6)^n……①
a[n]+2/3b[n]=16………②

②-①は、
5/3b[n]=16+4(1/6)^n
b[n]=48/5+12/5(1/6)^n
これを②に

代入して、
a[n]=16-2/3｛48/5+12/5(1/6)^n｝
=16-32/5-8/5(1/6)^n
=48/5-8/5(1/6)^n

一般項は、
a[n]=48/5-8/5(1/6)^n
b[n]=48/5+12/5(1/6)^n

小数で表示すると、

a[n]=9.6%-1.6%×(1/6)^n
b[n]=9.6%+2.4%×(1/6)^n

因みに、
a[0]=48/5-8/5=40/5=8
a[1]=48/5-8/5(1/6)=48/5-4/15=28/3
a[2]=48/5-8/5(1/6)^2=48/5-2/45=86/9
a[3]=48/5-8/5(1/6)^3=48/5-1/135=259/27

b[0]=48/5+12/5 =12
b[1]=48/5+12/5(1/6) =48/5+2/5=10
b[2]=48/5+12/5(1/6)^2=48/5+1/15=29/3
b[3]=48/5+12/5(1/6)^3=48/5+1/90=173/18