今度は、食塩の重さについて、連立漸化式を立て、解いた。
8%の食塩水Aが300g、12%の食塩水Bが200gある。
この2つの食塩水に対して, 以下の操作を行う。
Aからくみとった100gをBに加え、Bからくみとった100gをAに加える。
この操作をn回行った時、A、Bの濃度は何%か。
を以下のように食塩の重さについて、連立漸化式を立て、解いた。
a[0]=24,
b[0]=24,
a[n+1]=2/3a[n]+1/2b[n],
b[n+1]=1/3a[n]+1/2b[n]
a[n+1]+αb[n+1]=β(a[n]+αb[n])の形に変形する。
a[n+1]+αb[n+1]
=2/3a[n]+1/2b[n]+α(1/3a[n]+1/2b[n])
=(2/3+1/3α)a[n]+(1/2+1/2α)b[n]
β=2/3+1/3α
βα=1/2+1/2α
(2/3+1/3α)α=1/2+1/2α
(4+2α)α=3+3α
2α^2+α-3=0
(2α+3)(α-1)=0
α=-3/2,1
α=1のとき、
a[n]+αb[n]
=a[n]+b[n]
=2/3a[n-1]+1/2b[n-1]+ 1/3a[n-1]+1/2b[n-1]
=a[n-1]+b[n-1]
a[n]+b[n]=a[n-1]+b[n-1]
a[0]+b[0]=24+24=48
a[n]+b[n]=48……①
α=-3/2のとき、
a[n]+αb[n]
=a[n]-3/2b[n]
=2/3a[n-1]+1/2b[n-1]-(3/2)(1/3a[n-1]+1/2b[n-1])
=(2/3-3/2・1/3)a[n-1]+(1/2-3/2・1/2)b[n-1]
=1/6a[n-1]-1/4b[n-1]
a[n]-3/2b[n]=1/6a[n-1]-1/4b[n-1]
a[n]-3/2b[n]=1/6(a[n-1]-3/2b[n-1])
a[0]-3/2b[0]=24-3/2・24=-12
a[n]-3/2b[n]=-12(1/6)^n……②
並べて書くと、
a[n]+b[n]=48……①
a[n]-3/2b[n]=-12(1/6)^n………②
①-②は、
5/2b[n]=48+12(1/6)^n
b[n]=96/5+24/5(1/6)^n
これを①に代入して、
a[n]=48-96/5-24/5(1/6)^n
=144/5-24/5(1/6)^n
一般項は、
a[n]=144/5-24/5(1/6)^n
b[n]= 96/5+24/5(1/6)^n
今、
a[0]=144/5-24/5=120/5=24
a[1]=144/5-24/5(1/6)=28
a[2]=144/5-24/5(1/6)^2=86/3
a[3]=144/5-24/5(1/6)^3=259/9
b[0]=96/5+24/5=120/5=24
b[1]=96/5+24/5(1/6)=20
b[2]=96/5+24/5(1/6)^2=58/3
b[3]=96/5+24/5(1/6)^3=173/9
