不思議な問題

400gの水と16gの食塩をすべて使い、２つの容器A、Bにそれぞれ食塩水を作ります。Aの食塩水の重さはBの食塩水の重さの5分の3で、2つの食塩水の濃度を等しくするつもりでしたが、それぞれの容器に入れる水と食塩の配分を間違えてしまいました。
そのため、AとBに入っている食塩水の重さは予定通りでしたが、2つの食塩水濃度は等しくなりませんでした。
そこで、AとBから重さの比が2:1の食塩水を同時に取りだして、Aの分をBに、Bの分をAに同時に入れ替えたところ、2つの食塩水の濃度は等しくなりました。
同時に入れ替えた後、Aには何gの食塩水が入っていますか。

【解答】

「Aの食塩水の重さはBの食塩水の重さの5分の3」だから、

(Aの食塩水の重さ):(Bの食塩水の重さ)
=3:5
=(416g×3/8):(416g×5/8)
=156g:260g

ここからは、中学校の数学で解きます。

Ａ,Bの濃度を、1/26+a,1/26+bとして考えると、
156g×(1/26+a)+260g×(1/26+b)=16g
156g×a+260g×b=0g
156a+260b=0
78a+130b=039a+65b=0
3a+5b=0
5b=-3a
b=-3a/5

つまり、Ａ,Bの濃度は、1/26+a,1/26-3a/5となる。

入れ替え後の、食塩水Ａの食塩の重さは、以下のとおり。

(156-2c)g×(1/26+a)+cg×(1/26-3a/5)=(156-c)g×1/26
(156-2c)×(1/26+a)+c×(1/26-3a/5)=(156-c)×1/26

両辺から、(156-c)×1/26を引くと、
(156-2c)a+c(-3a/5)=0
aは０でないので、両辺をaでわると、
(156-2c)+c(-3/5)=0
156=(2+3/5)c
156=13/5 c
12=1/5 c
60=c

したがって、入れ替え後のAの重さは、
156-2c+c
=156-120+60
=96

96g