300g8%から100gを200g12%へ
【問】
食塩水A:8%,300g
食塩水B:12％,200g
操作:
Aから100gをくみ取り、Bから100gをくみ取ったのち,
Aからくみ取った100gをBに加えて、Bからくみ取った100gをAに加える。
(1) 操作を1回行った時、Aの濃度は何%になりますか？
(2) 操作を2回行った時、Bの濃度は何%になりますか？
(3) 操作を多数回行うと、Aの濃度はほとんど変化しなくなり、ある一定の濃度に近づいていく、その濃度は何%ですか？
(1) 操作を1回行った時、Aの濃度は何%になりますか？
(2) 操作を2回行った時、Bの濃度は何%になりますか？
(3) 操作を多数回行うと、Aの濃度はほとんど変化しなくなり、ある一定の濃度に近づいていく、その濃度は何%ですか？
- 【解】
(8+8+8)+(12+12)
=(8+8)+(8+12+12)
=(8+8)+(8+12+12)
=(8+8)+(32)
=(8+8)+(32/3×3)
=(8+8+32/3)+(32/3×2)
=(8+8)+(32/3×3)
=(8+8+32/3)+(32/3×2)
=(80/3)+(32/3×2)
=(80/9×3)+(32/3×2)…(1回目終了)
=(80/9×2)+(80/9+32/3×2)
=(80/9×2)+(272/27×3)
(1)80/9(%)
(2)272/27(%)
(3)(8%×3+12%×2)/5=9.6%
=(80/9×2)+(80/9+32/3×2)
=(80/9×2)+(272/27×3)
(1)80/9(%)
(2)272/27(%)
(3)(8%×3+12%×2)/5=9.6%
【おまけ】
n回の操作後のA,Bの食塩量をA[n],B[n]とする。
A[0]=24
B[0]=24
A[n]+B[n]=48
B[n]
=(2/3){(1/3)A[n-1]+B[n-1]}
=(2/9)A[n-1]+(2/3)B[n-1]
A[n]
=A[n-1]+B[n-1]-B[n]
=(7/9)A[n-1]+(1/3)B[n-1]
A[n]について変形する。
A[n]=(7/9)A[n-1]+(1/3)B[n-1]
B[n-1]=48-A[n-1]だから、
A[n]
=(7/9)A[n-1]+(1/3){48-A[n-1]}
={(7/9)-(1/3)}A[n-1]+16
={(7/9)-(3/9)}A[n-1]+16
=(4/9)A[n-1]+16
A[n]-α=(4/9){A[n-1]-α}とおくと、
係数比較より、
(5/9)α=16
α=144/5
A[n]-144/5=(4/9){A[n-1]-144/5}
A[n]-144/5=(4/9)^n{A[0]-144/5}
A[n]=144/5+(4/9)^n{24-144/5}
A[n]=144/5-(24/5)(4/9)^n
B[n]=96/5+(24/5)(4/9)^n
濃度をa[n],b[n]とすると、
a[n]=(1/3)A[n]=48/5-(8/5)(4/9)^n
b[n]=(1/2)B[n]=48/5+(12/5)(4/9)^n
A[0]=24
B[0]=24
A[n]+B[n]=48
B[n]
=(2/3){(1/3)A[n-1]+B[n-1]}
=(2/9)A[n-1]+(2/3)B[n-1]
A[n]
=A[n-1]+B[n-1]-B[n]
=(7/9)A[n-1]+(1/3)B[n-1]
A[n]について変形する。
A[n]=(7/9)A[n-1]+(1/3)B[n-1]
B[n-1]=48-A[n-1]だから、
A[n]
=(7/9)A[n-1]+(1/3){48-A[n-1]}
={(7/9)-(1/3)}A[n-1]+16
={(7/9)-(3/9)}A[n-1]+16
=(4/9)A[n-1]+16
A[n]-α=(4/9){A[n-1]-α}とおくと、
係数比較より、
(5/9)α=16
α=144/5
A[n]-144/5=(4/9){A[n-1]-144/5}
A[n]-144/5=(4/9)^n{A[0]-144/5}
A[n]=144/5+(4/9)^n{24-144/5}
A[n]=144/5-(24/5)(4/9)^n
B[n]=96/5+(24/5)(4/9)^n
濃度をa[n],b[n]とすると、
a[n]=(1/3)A[n]=48/5-(8/5)(4/9)^n
b[n]=(1/2)B[n]=48/5+(12/5)(4/9)^n
検算すると、
a[1]=48/5-(8/5)(4/9)=(48/5)-(32/45)
=(432-32)/45=400/45=80/9
b[2]=48/5+(12/5)(16/81)=(1296/135)+(64/135)
=1360/135=272/27
